МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ”ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА ” ІКТА кафедра захисту інформації ЗВІТ до лабораторної роботи №2 з курсу: Комп'ютерні методи дослідження інформаційних процесів і систем на тему: “ МЕТОД ГАУССА ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ” Варіант 1 1. Мета роботи: Мета роботи – ознайомлення з прямими методами розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. 2. Короткі теоретичні відомості: Прямі методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь Класичний метод Гаусса. Розглянемо систему рівнянь четвертого порядку:

(1) Зауважимо, що елементи вектора-стовпчика вільних членів
занесені в матрицю коефіцієнтів А. Будемо вважати, що
. З першого рівняння знаходимо х1:
, (2) де
,
. З допомогою рівняння (2) можна виключити
з решти рівнянь, для чого достатньо підставити (2) для
в друге, третє і четверте рівняння системи. Це і є першим кроком – кроком виключення невідомого
.

,
Перехід від початкової системи
до новоствореної
відбувається за такою формулою:


Другий крок – виключення невідомого
відбувається аналогічно:






Третій крок – виключення невідомого


,






;
Останнє рівняння можна переписати у вигляді:
або
. Отже, в результаті прямого ходу одержимо систему рівнянь:
Знаходження невідомих проводиться в оберненому ході методу Гаусса шляхом зворотніх підстановок. Якщо п – кількість рівнянь (порядок) системи, то програмування обчислювального процесу проводиться так: L – кількість кроків виключення ; j – позначення другого індексу при визначенні α ; і – номер рядка системи ; k – номер стовпця. Можна записати, що для всіх 



Обернений хід:
,
. Отже, обчислювальна схема прямого ходу методу Гаусса має вигляд: Для
Для

Для
Для

i піддається спрощенню. Початкове обчислення всіх коефіцієнтів α не є обов’язковим. Це випливає з наступного. Наприклад, перехід від початкової системи коефіцієнтів до наступної відбувається так:
Наприклад, коефіцієнти першого чи другого стовпця нової системи утворюються за правилом
, або
Отже, визначивши, наприклад α12 зразу ж можна переходити до визначення коефіцієнтів нової системи


і т.п. Таким чином цикли по J i по K можна об’єднати (оскільки J i K змінюються в однакових межах). Якщо
замінити на
та цикли по J та по K об’єднати в один, одержимо загальну форму методу виключення Гаусса із стовпцевою формою розкладу матриці А до трикутного вигляду

В кінці цих перетворень одержимо:


Метод Гаусса (рядкова і стовпцева форми розкладу матриці А до трикутного вигляду). Розглянемо систему лінійних рівнянь
(1) з невиродженою матрицею А розміру
. Більшу частину всього обчислювального процесу поглинає зведення матриці А до трикутного вигляду. Можливі дві форми розкладу (зведення) матриці А до трикутного вигляду – рядкова або стовпцева. Як ми вже знаємо, стовпцева форма розкладу зображується наступною обчислювальною схемою: Для
до
Для
до


(2) Для
до

Права частина
системи (1) також може оброблятися в ході зведення матриці А до трикутного вигляду. Тому можна
приєднати до і-го рядка (член
) – як ми й робили раніше (в такому випадку в циклі "k" верхня межа зростає до
). Можна
залишити на місці, не вносячи в масив А. В цьому випадку в результаті виконання прямого ходу методу Гаусса одержується система рівнянь:


(3) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

. Обернений хід при стовпчиковій формі розкладу описується загальною формулою:

,
(4) Розглянемо тепер рядкову форму розкладу матриці А. Вона базується на зведенні системи лінійних рівнянь до трикутного вигляду. Для цього спочатку нормують перше рівняння, ділячи його на а11(0), тобто роблять коефіцієнт при х1 рівним 1. Потім це перше рівняння домножують відповідно на коефіцієнт аі,1(0) при х1 всіх інших рівнянь і послідовно віднімають від усієї решти рівнянь. В резул...